FLIPPED CLASSROOM

RIPENSARE  LA LEZIONE EX CATHEDRA

...............senza parole

.........secondo Eric Mazur fisico di Harvard, la lezione è "un modo per trasferire le dispense del docente al quaderno degli studenti senza passare per il cervello di entrambi”

.......nell'era dell'informazione è il momento di capovolgere l'insegnamento in modo tale che il "trasferimento di informazioni" si verifichi  prima della lezione, coinvolgendo gli studenti in una lezione diversa dalla tradizionale al fine di generare attività o applicare i contenuti.

LA MATEMATICA DELL'INCERTO

INTUIZIONE DEL CONCETTO DI PROBABILITA'

"... non ha senso parlare della probabilità di un evento se non in relazione all'insieme di conoscenze di cui una persona dispone. ... La probabilità soggettiva è quindi un aiuto per dare un'attendibile misura di ciò che non si può misurare oggettivamente" 

Bruno De Finetti (1906 - 1985), Filosofia della Probabilità

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Definizione classica (probabilità a priori)

Probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero f dei casi favorevoli e il numero p degli eventi possibili cioè: 

P(E)= f/p 

0 < P(E) <1 

Gli eventi devono avere tutti la stessa probabilità di accadere, cioè essere equiprobabili.

Definizione frequentistica (probabilità a posteriori)
Relativamente ad un esperimento A, che può essere osservato molte volte, la probabilità di un evento E è il valore a cui tende il rapporto tra il numero di prove che hanno avuto esito favorevole ad E ed il numero totale di prove fatte.
f(E)=s/n (frequenza relativa dell'evento E), dove:
s= numero dei successi;
n=numero delle prove
Per "n" grande f(E)~p(E)
Anche in questo caso 0 < f(E)~P(E) <1

Definizione soggettiva

La probabilità di un evento E è rappresentata dal rapporto fra il prezzo P che un individuo ritiene giusto di pagare e la somma S che ha diritto di avere in cambio se l’evento si verifica. 

P(E)= P/S 

Esempio: Enrico è disposto a pagare 40 Euro per ricevere 100 Euro se Mario vince la gara di sci 

P(E)= 40/100 = 2/5 = 0,4 =40% 

Anche questo modo di concepire la probabilità dà origine ad un numero compreso tra 0 e 1, perché si suppone che la somma che si è disposti ad anticipare sia, in caso di esito favorevole, inferiore o tutt’al più uguale a quella che si vincerà.

ALCUNE DEFINIZIONI:

- Casuale, ciò che dipende dal caso, come la faccia di un dado, che in latino si dice alea, da cui l'altro aggettivo aleatorio, con cui sono definiti i fenomeni non deterministici (dei quali non si può predeterminare l'esito). 

- Spazio campione, come insieme che contiene tutti i possibili modi in cui può manifestarsi un certo fenomeno casuale. 

- Evento aleatorio, cioè un sottoinsieme dello spazio campione, in cui sono contenuti alcuni dei possibili casi, quelli favorevoli all'evento considerato. 

- Esito è ciò che effettivamente si verifica quando il fenomeno accade. L'esito dunque è certo e lo si conosce solo a posteriori. 

- Probabilità di un evento aleatorio, come misura del grado di fiducia che si può stabilire a priori circa il verificarsi o meno dell'evento

HOW TO SOLVE IT

George Polya

"WHAT THE TEACHER SAYS IN THE CLASSROOM IS NOT UNIMPORTANT, BUT WHAT THE STUDENTS THINK IS A THOUSAND TIMES MORE IMPORTANT."-                  G. Polya

Nel 1963 in un suo libro G. Polya scriveva:

<<In primo luogo voglio essere preciso su qual sia il primo e principale obiettivo dell’insegnamento della matematica, soprattutto nella scuola secondaria: insegnar a pensare. Ciò significa che l’insegnante non deve solo fornire informazioni, ma anche fare in modo che gli allievi sviluppino l’abilità di utilizzare le informazioni ricevute, insistendo sul saper fare, su atteggiamenti favorevoli, su abiti mentali desiderabili. Ma devo precisare due punti:

 a) Il pensiero di cui parlo non è un sognare a occhi aperti, ma un “pensare diretto ad uno scopo” o un “pensare volontario”, un “pensiero produttivo”[e qui Polya cita M. Wertheimer]. Questo pensiero in prima approssimazione può essere identificato con la soluzione di problemi. Comunque l’abilità nel risolvere problemi la considero la principale delle finalità scolastiche. 

b) Il pensiero matematico non è puramente”formale”, non è preoccupato solo di assiomi, definizioni, prove rigorose; molte altre cose gli appartengono: generalizzare a partire da casi osservati; argomenti induttivi, argomenti per analogie, riconoscere un concetto matematico in una situazione concreta o saperlo estrarre da essa. L’insegnante ha molte opportunità per abituare i suoi alunni a questi processi informali di gran valore: insegniamo a provare con ogni mezzo, ma anche a congetturare.(...) Il saper fare in matematica è l’abilità a risolvere problemi, a trovare prove, a criticare argomenti a favore, a usare il linguaggio matematico con una certa fluidità, a riconoscere concetti matematici in situazioni concrete>>.

Fu Polya  ad indicare quattro stadi del processo di soluzione dei problemi:

A) Nel primo stadio si comprende il problema, cercando di     rispondere alle seguenti domande: 

- Qual è l’incognita?
- Quali sono i dati? 

- Qual è la condizione?
- E' possibile soddisfare la condizione?

B) Nel secondo stadio si compila il piano di risoluzione. 

C) Nel terzo stadio si procede allo sviluppo del piano.

........Riflessioni

“…un apprendimento scolastico valido deve essere: 

significativo, stabile, fruibile. Alla significatività concorrono la comprensione e la strutturazione delle conoscenze; alla stabilità un’adeguata fissazione e ricordo in maniera da garantire la disponibilità di un patrimonio permanente e non solo occasionale;alla fruibilità, lo sviluppo di competenze nell’utilizzare il patrimonio conoscitivo posseduto stabilmente al fine di interpretare nuove situazioni e conoscenze e di risolvere problemi applicativi”…“fare matematica diventa quindi un’esperienza emozionale ottimale”.…“un’esperienza ottimale nel fare matematica agisce sul soggetto in due direzioni:

• Promuove una crescita personale nelle abilità, conoscenze 

e competenze connesse con quell’attività

• Favorisce una progressiva percezione del valore personale attribuito ad essa.”

                                                        Polya G, W. James, M. Wertheimer

<<Risolvere problemi significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente raggiungibile. Risolvere problemi è un’impresa specifica dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico del genere umano. Si può considerare il risolvere problemi come l’attività più caratteristica del genere umano>>.

        <<(...)Quindi un insegnante di matematica ha una grande possibilità. Ovviamente, se egli impiegherà le sue ore di lezione a far eseguire dei calcoli ai suoi studenti, finirà per soffocare il loro interesse, arrestare il loro sviluppo mentale e sciupare l'opportunità che gli si presenta. Invece se risveglierà la curiosità degli alunni proponendo problemi proporzionali alle conoscenze della scolaresca e li aiuterà a risolvere le questioni proposte con domande opportune, egli saprà ispirare in loro il gusto di un ragionamento originale>>.

                                                    (G. POLYA,1945)

       Risolvere i problemi è una questione di abilità vera e propria come, permettetemi il paragone, il nuotare. Qualunque abilità pratica può essere acquisita con l’imitazione e l’esercizio. Sforzandosi di imparare a nuotare si imitano i gesti e gli sgambettii di coloro che riescono a stare a galla nell’acqua e, a poco a poco, si impara a nuotare… nuotando. Per imparare a risolvere i problemi, è necessario osservare ed imitare come vi riescono altre persone ed infine si riesce a risolvere i problemi… risolvendoli.

                                                 (G. POLYA)

         ricorda George Polya che..............“un matematico che sa solamente generalizzare è come una scimmia che sa solamente salire sugli alberi, mentre uno che sa solamente ridurre a casi particolari è come una scimmia che sa solo scendere dagli alberi. In realtà nessuna delle due scimmie è una creatura completa. Una vera scimmia deve essere in grado di trovare cibo e scappare ai propri nemici, arrampicandosi continuamente su e giù dagli alberi. Un vero matematico deve saper sia generalizzare sia ridursi a casi particolari.”

NAPIER E I LOGARITMI

Il matematico scozzese John Napier (1550-1617) è passato alla storia per essere stato il creatore dei logaritmi, strumento di calcolo su cui lavorò per più di vent'anni e che rese noti nel 1614 nell'opera "Mirifici logarithmorum canonis descriptio". Si tratta di una regola di calcolo che consente di trasformare le moltiplicazioni in addizioni, le divisioni in sottrazioni e le potenze in prodotti. Con l'invenzione dei logaritmi si riuscì a semplificare notevolmente i calcoli soprattutto quelli astronomici.

Ma cosa sono i logaritmi?

Il logaritmo è un numero, in particolare possiamo definirlo come quel valore "x" a cui è necessario elevare il numero "a"(base) per ottenere "b" (argomento)

    ossia deve essere verificata la condizione che          (1.1)
come esempio pensiamo che      perchè 

Per capire meglio il concetto possiamo pensare che se dobbiamo risolvere l'equazione  la soluzione è . in questo esercizio l'incognita è rappresentata dalla base "x" in  quanto è noto l'esponente "4" e il valore della potenza "81". Nel logaritmo è invece vero il ragionamento inverso: è incognito l'esponente "x" e conosciamo la potenza "b" e la ricerca è il valore dell'esponente noto come logaritmo.(vedi 1.1) 

Quindi:

  (leggi "x" è il logaritmo in base "a" di "b") dove 

operazione inversa

    con 

Possiamo concludere dicendo che il logaritmo è l'operazione inversa rispetto alla potenza, come la sottrazione è un'operazione inversa rispetto all'addizione. Dall'esempio sopra riportato appare chiaro che se conosciamo l'esponente della potenza ed è incognita la base, trovare la base equivale ad una estrazione di radice; se invece si conosce la base , la ricerca dell'esponente equivale al logaritmo di quella base"a" del valore della potenza"b".

Riportiamo di seguito le proprietà fondamentali dei logaritmi:
Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei due fattori:

Il logaritmo del quoziente di due numeri è uguale alla differenza tra il logaritmo al numeratore meno il logaritmo al denominatore:

Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della base:

COME AFFRONTARE E SVOLGERE LA PROVA DI MATEMATICA

Cosa fare prima

Per affrontare la seconda prova è necessario rivedere tutti gli argomenti di Matematica svolti in particolare nel triennio.

Occorre essere sicuri sulla geometria analitica( retta, parabola, circonferenza, ellisse, iperbole equilatera traslata) per evitare di svolgere uno studio di funzione per rappresentare una retta priva di un punto quale   

Si devono possedere tutte le competenze relative alla risoluzione di equazioni e disequazioni di vario tipo:

esponenziali, logaritmiche, goniometriche e grafiche quali:

Anche se appare ovvio non serve illudersi: senza conoscere gli argomenti specifici del quinto anno non si può fare la prova. Anche se manca poco tempo almeno si deve provare a memorizzare i grafici fondamentali, a saper usare le tecniche per il calcolo dei limiti nel caso di forme indeterminate, a conoscere e usare i limiti notevoli, a saper calcolare le derivate e saperle applicare nei problemi, conoscere e saper studiare continuità e derivabilità di una funzione, calcolare e usare gli integrali.

Raccogli in due/tre fogli e in modo ordinato le formule principali di tutti gli argomenti e usali durante le tue esercitazioni; continuando ad usarli sempre ne memorizzerai anche la posizione e saranno  la tua fotocopia mentale sempre a disposizione.

Cosa fare durante

Ricordati che la prova dura 6 ore e che prima di tre ore non puoi andartene, perciò tanto vale fare qualcosa: con calma sì ma lavorare fin dall'inizio.

Nella prima mezz'ora leggi tutto il testo analizzando quello che pensi di saper fare.

Una strategia d'affronto che per molti si è mostrata vincente è la seguente:

1. affronta prima il questionario, in un primo momento scarta quello che sai e cerca di dare delle risposte di massima a quello che conosci (non rispondere a più di 5 quesiti, farlo non aumenta il punteggio eccetto che se viene detto esplicitamente dal Prof.). Per questa fase cerca di non perdere più di un'ora.
2. man mano segnati sul foglio(che potrà essere di "bella") le risposte in modo ordinato e quasi completo lasciandoti dello spazio per poterle ampliare successivamente, se hai tempo ci potrai ritornare per perfezionarle ma almeno hai già presentato qualcosa. Sono passate due ore.
3. è ora di affrontare il problema, ricordati di non utilizzare più di due ore per questa fase. Rileggili entrambi e "buttati" su quello che ti appare in linea con le cose che hai fatto in classe e che conosci meglio. I problemi sono per punti, alcuni sono legati e altri no, quindi cerca di passare al punto successivo se quello che stai affrontando ti appare al momento oscuro.
4. come per il questionario man mano che hai del "materiale" quasi finito riportalo in bella ma attenzione che qui tutto deve essere coerente con quello che hai scritto prima e con quello che scriverai dopo.
5. se manca qualche quesito o qualche punto del problema prova ad affrontarlo cercando di catalogarlo e di inserirlo nei grandi filoni degli argomenti; per esempio se ti chiedono il numero di soluzioni di un'equazione probabilmente non devi risolverla analiticamente come equazione, cercando di determinarne le soluzioni(te ne chiede solo il numero), ma dovrai affrontarla come problema di intersezione tra curve.                       
6. Ora manca solo un'ora.
7. ritorna al problema controllando la coerenza di ciò che hai scritto, non farti prendere dal panioco se pensi di aver trovato un errore, prima di distruggere tutto ricontrolla e, se proprio non puoi farne a meno, correggi. Ricordati che alcune volte puoi giustificare il tuo svolgimento anche spiegando perchè ti sembra incoerente e perchè non riesci a correggerlo (lunghezza di calcoli, errore di impstazione non più correggibile, ecc.)
8. Cosa fare dopo
9. Ricordati che, consegnato il compito, non tutto è finito. Ti aspetta il commento della prova scritta: il giorno dopo controlla la soluzione, cerca di capire i tuoi errori, segnali e riguardali per il giorno dell'orale, sii pronto a giustificare i tuoi passaggi "oscuri".

In bocca al lupo!

Quesito di Logica

Il tram numero 2 e il tram numero 11 passano dalla stessa fermata e, senza ritardi, ogni cinque minuti a orari prefissati. Uno studente che può prendere indifferentemente uno qualunque dei due tram arriva alla fermata ogni giorno tra le 8:00 e le 8:05 e ha il 40% di probabilità di prendere il tram numero 2 alle 8:03. A che ora passa il tram numero 11?

A) 8:01
B) 8:02
C) 8:00 e 8:05
D) Non è possibile stabilirlo
E) 8:04

Risposta (A)

LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO E'.........

Com'è l'universo? Che geometria ha?

A questa domanda personaggi della scienza come Gauss, Bessel e Lobacevskij non formularono un risultato preciso.

Sappiamo di certo che se la somma degli angoli interni di un triangolo è:

la geometria dell'universo è 

a)geometria euclidea; b) geometria sferica; c) geometria iperbolica

La teoria della relatività di Einstein è basata sull’ipotesi che i corpi materiali producono una distorsione dello spazio circostante modificandone la geometria (Fig.1).

Tale teoria affonda le radici nella nascita delle geometrie non euclidee.
Possiamo dire che in presenza di un campo gravitazionale la geometria non è euclidea, la massa incurva lo spazio-tempo e ne determina le leggi metriche. La gravità non è altro che la curvatura dello spazio-tempo. Guardando la fig.1 si può immaginare lo spazio come un grande telo teso, in assenza di oggetti il telo è piatto. Questo comporta che in assenza di masse lo spazio-tempo è piatto ed ha una geometria euclidea. Ma la presenza di masse come in figura provoca una curvatura dello spazio-tempo proporzionale alla massa. Si può immaginare che sul telo deformato (curvatura spazio-tempo) il moto dei pianeti come la curvatura della luce avvenga seguendo una geodetica (percorso più breve che congiunge due punti dello spazio curvo).

Fig.1 Curvatura dello spazio-tempo attorno ad un oggetto materiale

Fig.2 Curvatura dei raggi di Luce in presenza di Masse

Il telegramma originale di Cambell che confermava una delle predizione
della teoria di Einstein:la deflessione della luce delle stelle da parte del Sole nell'eclissi del 1919.

Nel 1981 il fisico statunitense Alan Guth introdusse il concetto di densità dell'universo: massa totale di materia per unità di volume. Esiste un valore critico 



che determina la geometria dell'universoe la sua evoluzione:
 

         La massa calcolata finora corrisponde ad un 10% di