PARTIZIONE DI N

In quanti modi si può scrivere "n" come somma di altri numeri interi?

In quanti modi si può scrivere 4 come somma di altri numeri interi? La risposta è: in 5 modi senza tenere conto dell'ordine degli addendi.

Infatti:
1° modo: 4=4
2° modo: 4=3+1
3° modo: 4=2+2
4° modo: 4=2+1+1
5° modo: 4=1+1+1+1

Le partizioni di 5 sono le seguenti
1° modo:5= 5
2° modo: 5=4 + 1
3° modo: 5=3 + 2
4° modo: 5=3 + 1 + 1
5° modo: 5=2 + 2+1
6° modo: 5=2 + 1 + 1+1
7° modo: 5=1 + 1 + 1 + 1+1

Le partizioni di 6 sono le seguenti
1° modo:6= 6
2° modo: 6=5 + 1
3° modo: 6=4+2
4° modo: 6=4 + 1+1
5° modo: 6=3 + 3
6° modo: 6=3 +2+1
7° modo: 6=3 + 1+1+1
8° modo: 6=2 + 2 + 2
9° modo: 6=2+2+1+1
10° modo: 6=2 + 1+1+1+1
11° modo: 6=1+1+1+1+1+1

Le partizioni di 8 sono invece le seguenti:

1° modo:8= 8
2° modo: 8=7 + 1
3° modo: 8=6 + 2
4° modo: 8=6 + 1 + 1
5° modo: 8=5 + 3
6° modo: 8=5 + 2 + 1
7° modo: 8=5 + 1 + 1 + 1
8° modo: 8=4 + 4
9° modo: 8=4 + 3 + 1
10°modo: 8=4 + 2 + 2
11°modo: 8=4 + 2 + 1 + 1
12°modo: 8=4 + 1 + 1 + 1 + 1
13°modo: 8= 3 + 3 + 2
14°modo:  8=3 + 3 + 1 + 1
15° modo: 8=3 + 2 + 2 + 1
16° modo: 8=3 + 2 + 1 + 1 + 1
17° modo: 8=3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
18° modo: 8=2 + 2 + 2 + 2
19° modo: 8=2 + 2 + 2 + 1 + 1
20° modo: 8=2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1
21° modo: 8=2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
22° modo: 8=1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Nel linguaggio matematico si dice che la partizione di 4 è 5 e si indica come P(4)=5, che la partizione di 8 è 22 e si indica come P(8)=22. Ma qual è la partizione di 100? E quella di 100.000? Esiste un modo veloce per calcolare la partizione di qualunque intero senza perdersi in migliaia di calcoli astronomici? La domanda sembra banale ma ha tenuto impegnati per secoli i matematici che hanno tentato, invano, di trovare un'equazione che permettesse di risolvere il problema. 

La sequenza dei numeri di partizione dei primi numeri naturali è P(0)=1, P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=5, P(5)=7, P(6)=11, P(7)=15, P(8)=22 P(9)=30 P(10)=42 etc.. Come si vede P(n) cresce velocemente al crescere di n. Per il numero 100 è maggiore di 190.000.000 Si tratta insomma di numeri grandi e scomodi da maneggiare. E oltretutto la sequenza dei numeri di partizione non segue, almeno in apparenza, nessuno schema logico. 

A risolvere il problema hanno provato in tanti: in particolare Eulero nel XVIII secolo e, negli anni '20, il matematico indiano Ramanujan, che era riuscito a sviluppare una formula che permetteva di calcolare abbastanza agilmente P(n) per n inferiore o uguale a 200. La formula faceva uso del valore pigreco e ciò la rendeva imprecisa e pieno di decimali. Ma nel 1919 Ramanujan, poco prima di morire, lasciò un misterioso appunto nel quale indicava una non meglio specificata schematicità nella sequenza secondo le potenze di 5, 7, 11. 

 Ken Ono, un giovane matematico della Emory University di Atlanta, in Georgia insieme ai suoi collaboratori è venuto a capo dell'enigma nel gennaio del 2011: i numeri di partizione si comportano come i frattali In apparenza sono disordinati e senza alcuna congruenza, ma se analizzati a livello "micro" sono composti da schemi ordinati che si ripetono.  Le sequenze delle partizioni sono insomma periodiche e si ripetono identiche a intervalli precisi. Ramanujan aveva ragione e il segreto di questo schema è nelle proprietà di divisibilità dei numeri di partizione.

Ono e i suoi collaboratori si sono spinti oltre e grazie a una serie di intuizioni geniali sono riusciti a sviluppare una formula che permette di calcolare P(n) per ogni numero intero pari a n. 

 Concludiamo ricordando che le partizioni hanno molte implicazioni in diverse aree dell'algebra, della fisica, della statistica e dell'economia.