BOOK DI MATEMATICA & FISICA di Francesco Petracca: INTRODUZIONE ALLA DERIVATA

INTRODUZIONE AL

CONCETTO DI DERIVATA

DAL PENSIERO DI NEWTON ALLA DEFINIZIONE MODERNA DI DERIVATA

Galileo Galilei (1564-1642)

“la filosofia [la natura] è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (e dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, a conoscer i caratteri ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi e altre figure geometriche senza i quali mezzi è impossibile intenderne umanamente parola; senza questi, è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.” Galileo Galilei

I problemi aperti del XVII sec. :

Newton (1642-1727)

Il XVII secolo segna l’inizio della ricerca scientifica secondo un nuovo metodo, lo studio della natura in maniera sistematica utilizzando la matematica ed i suoi progressi. Lo sviluppo della matematica è strettamente legato ad alcuni problemi, all’epoca ancora irrisolti, ritenuti di grande interesse sia culturale che economico. Possiamo dire che i progressi matematici fornirono le risposte ai problemi ma allo stesso tempo furono proprio i problemi aperti a stimolare la nascita e lo sviluppo di nuove tecniche di calcolo e nuovi concetti matematici.

CINEMATICA: tra i vari problemi cinematici è interessante studiare il moto dei pianeti al fine di migliorarne il calcolo della posizione;

LE TANGENTI AD UNA CURVA: il problema è posto sia come problema geometrico che ottico pensando che la progettazione delle lenti interessava direttamente Fermat, Descartes, Huygens e Newton. In realtà erano gia noti dall’antichità alcuni metodi per determinare le tangenti ad alcune curve particolari, ma mancava un metodo generale.

DETERMINAZIONE DI MASSIMI E MINIMI: pensiamo ai massimi e minimi di una funzione:determinare la massima o minima distanza di un pianeta dal sole; determinare l'angolo in corrispondenza del quale la gittata di un cannone è massima.

LO STUDIO DELLA CINEMATICA CON IL METODO DELLE FLUSSIONI:

Newton chiama fluenti le quantità che variano nel tempo e flussioni le rispettive velocità di variazione. Nella trattazione che segue chiamiamo x,y,z le quantità fluenti perchè crescenti gradualmente e indefinitamente, indichiamo con le lettere a,b,c..le quantità note e con $\dot{x},\dot{y},\dot{z}$ le flussioni che chiamiamo velocità di x,y,z.

LA VERSIONE MODERNA DI CAUCHY:

Cauchy (1789-1857)

Al di là dell’approccio dinamico del suo pensiero, l’elemento fondamentale che manca nella teoria di Newton è una definizione chiara del concetto di limite, anche se in più punti dei suoi scritti possiamo riscontrare la presenza di tale idea; bisognerà attendere D’Alambert e Cauchy per completare il quadro e dare all’analisi matematica la veste usata ancora oggi. Nel 1821 viene pubblicato il primo dei due trattati scritti da Cauchy per gli studenti dei suoi corsi all’École Polytechnique, il Cours d’analyse. Il concetto di limite viene posto alla base di tutte costruzioni dell’analisi. Le flussioni di Newton sono l’antenato di quella che oggi chiamiamo derivata e che riassume tutti i significati che si riportano:

velocità istantanea con cui varia una grandezza;
coefficiente angolare della retta tangente ad una curva;
strumento per determinare i punti stazionari di una funzione.

Nel secondo volume Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal di Cauchy, la teoria dei limiti è applicata al calcolo infinitesimale e viene definita rigorosamente la “derivata” come limite del rapporto incrementale.

${y}'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a(x+h)^{2}-ax^{2}}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left (ax^{2}+ah^{2}+2axh \right )-ax^{2}}{h}=2ax$

Data una funzione y=f(x) la sua derivata è    ${y}'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (Cauchy)

Per la stessa funzione la flussione è    $\dot{y}=\frac{f(x+o\dot{x})-f(x)}{o}$ ( Newton)

con "o" intervallo di tempo infinitamente piccolo

$x+o\dot{x}$ incremento della grandezza x dopo un intervallo di tempo infinitesimo "o"

come possiamo notare nella espressione di Newton manca il concetto di limite come lo intendiamo oggi.
Esempio: calcoliamo la derivata della funzione $y=ax^{2}$ utilizzando il concetto di derivata come limite del rapporto incrementale:

${y}'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a(x+h)^{2}-ax^{2}}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left (ax^{2}+ah^{2}+2axh \right )-ax^{2}}{h}=2ax$ (Cauchy)

applicando il metodo delle flussioni si ha: $\frac{a\left ( x+o\dot{x} \right )^{2}-ax^{2}}{o}=$ (Newton)

$\frac{ax^{2}+ao^{2}\dot{x}^{2}+2axo\dot{x}-ax^{2}}{o}=ao\dot{x^{2}}+2ax\dot{x}$ trascurando il primo termine e ponendo

$\dot{x}=1$ considerando uniforme lo scorrere del tempo nella ipotesi che y rappresenta la distanza percorsa da un corpo in moto accelerato e x il tempo trascorso dall'inizio del moto, si ottiene il valore della flussione di y ovvero il valore della velocità istante per istante: $\dot{y}=2ax$   Nel trattato Methodus fluxionum serie infinitarum nel calcolo delle flussioni si legge: “si divida per (o) e sia diminuita la quantità (o) all’infinito e trascurati i termini evanescenti” ( in un altro punto del trattato Newton precisa che i termini moltiplicati per o saranno niente rispetto al resto e quindi evanescenti ).
Questo esempio è indispensabile come collegamento tra le flussioni di Newton e la derivata nella concezione contemporanea e serve per sottolineare l’importanza del concetto di limite. Il metodo di Newton fornisce un procedimento per determinare la velocità istantanea qualunque sia la relazione che lega spazio e tempo, ma la sua validità va ben oltre, in quanto è valido per ogni genere di grandezza x e y rappresentino.

È interessante la frase di Newton “sia diminuita la quantità (o) all’infinito e trascurati i termini evanescenti” e perché non avesse scritto semplicemente “si ponga o=0”… tra le righe si intuisce l’idea di limite che Newton aveva già in mente anche se non formalizzata in maniera opportuna. Proprio questo punto piuttosto “oscuro” costituiva il motivo principale delle obbiezioni al suo metodo.

Letture consigliate:

Isaac Newton, The method of fluxions and infinite series, (1736) http://books.google.com
Isaac Newton, Tractatus de quadratura curvarum, (1704) http://books.google.com
Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, (1687) http://books.google.com