L’isola dei cavalieri e dei furfanti è un mondo conosciuto grazie ad un logico americano, Raymond Smullyan: Facciamo riferimento al libro di Smullyan - "Qual è il titolo di questo libro?", Zanichelli Bologna 1981, per risolvere quesiti di logica delle proposizioni che useremo per non farci prendere in giro dai furfanti che vivono sull’isola.
Si fanno le seguenti ipotesi: - Ogni abitante dell’isola è un cavaliere o un furfante; non esistono altre categorie di abitanti
- I cavalieri dicono sempre la verità
- I furfanti mentono sempre
- Sull’isola vale il principio di non contraddizione (è impossibile che la stessa cosa “sia” e “non sia”)
- Gli abitanti dell’isola conoscono l’aritmetica
PROBLEMA A
In un’isola ci sono due tipi di persone: i furfanti (mentono sempre) e i cavalieri (dicono sempre la verità). Su un’isola di questo tipo corre voce che vi sia sepolto dell’oro. Voi arrivate su quest’isola e chiedete ad uno dei nativi, A, se c’è oro su quest’isola. Egli dà la seguente risposta: ‘Sull’isola c’è oro se e solo se io sono un cavaliere’. Stabilisci:
a) si può determinare se A è un cavaliere o un furfante? b) si può determinare se c’è oro sull’isola?
Indicando con (o) la proposizione "sull’isola c’è oro" e con (c) la proposizione "A è un cavaliere", la risposta fornita si formalizza con la proposizione composta p: o Ûc (Se o ALLORA c et SE c ALLORA o), la cui tavola di verità è la seguente:
.
o
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c
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o Ûc
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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F
|
F
|
F
|
V
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Come leggere la tavola di verità in relazione al problema? Poiché
i cavalieri dicono il vero e i furfanti mentono, il valore di verità relativo
alla formula atomica c deve coincidere con quello del connettivo Û(cioè se l’interlocutore è un cavaliere la proposizione deve essere
vera; viceversa se è un furfante) e questo succede solo in corrispondenza delle
prime due righe. Non è possibile stabilire quindi se stiamo parlando con un
cavaliere o con un furfante, ma è certo che sull’isola c’è dell’oro.
PROBLEMA B
Abbiamo due persone, A e B, ognuna delle quali è un cavaliere o un furfante. Supponiamo che A faccia la seguente affermazione: “Se io sono un cavaliere, allora lo è anche B”. Si può determinare che cosa sono A e B?
SOLUZIONE
Indicando con (a) la proposizione "A è un cavaliere" e con (b) "B è un cavaliere", la tavola di verità di a®b (SE a ALLORA b) è la seguente:
a
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b
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a®b
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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V
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F
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F
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V
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Se A è un cavaliere, la proposizione composta a®b deve essere vera quando a è vera, mentre deve essere falsa quando
a è falsa; questo secondo caso non si verifica mai, mentre per il primo si ha
solo un’opportunità. Quindi A e B sono cavalieri.
Una volta, quando visitai l’isola dei cavalieri e dei furfanti, mi imbattei in due abitanti che riposavano sotto un albero. Chiesi a uno di loro: “Uno di voi due è un cavaliere?” Egli rispose e seppi la risposta alla mia domanda. Cos’è la persona a cui feci la domanda? E che cos’è l’altro?
SOLUZIONE
SOLUZIONE
Indicando con (a) la proposizione "A è un cavaliere" e con (b) "B è un cavaliere", la tavola di verità di aÚb(a OR b) è la seguente:
a
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b
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aÚb
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V
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V
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V
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V
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F
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V
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F
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V
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V
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F
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F
|
F
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Supponiamo che la domanda sia stata rivolta ad A (è indifferente). Se A risponde sì può essere un cavaliere (e B cavaliere o furfante) o un furfante (e B furfante). Queste eventualità corrispondono a tre righe della tavola di verità e comportano possibilità che impediscono di conoscere la risposta alla domanda. Poiché tale risposta è nota, A deve aver risposto ‘No’ e quindi A è un furfante e B un cavaliere (quarto caso della tavola di verità).
