LA MATEMATICA DEL SUPERENALOTTO ( calcolo delle probabilità!)
Azzeccare un 6 al Superenalotto è difficilissimo: molto più difficile che essere colpiti da un asteroide.
E’ un concetto che in realtà quasi tutti abbiamo in testa. Ma cerchiamo di dargli una sistemazione un po’ più formale. Quando lanciamo un dado a sei facce, qual è la probabilità che esca il numero 3? Ovviamente è un sesto: 6 sono i numeri che possono uscire, uno solo è quello che vogliamo che esca (il numero 3). Ecco, una delle definizioni matematiche della probabilità è proprio il rapporto fra il numero degli eventi favorevoli e il numero degli eventi possibili. Nel nostro esempio precedente, l’unico evento favorevole (cioè, quello di cui stiamo calcolando la probabilità che accada) è il fatto che esca il numero 3, mentre gli eventi possibili sono tutti i sei numeri che possono uscire (1,2,3,4,5,6).
Torniamo al SuperEnalotto. Supponiamo di aver giocato una sestina particolare, come per esempio,
1 2 3 4 5 6
allora l’evento favorevole è che esca proprio la sestina 1 2 3 4 5 6, e quindi abbiamo solo un evento favorevole. Quanti sono gli eventi possibili? Cioè, quante sono le sestine possibili che possono esere estratte? Per dare una risposta alla precedente domanda, facciamo il seguente ragionamento:
Prendiamo il caso più semplice dei dadi. Se lanciamo due dadi (Fig.1), quante sono le coppie ordinate (contate con ordine) che possono uscire? Al lancio del primo dado possono uscire 6 numeri diversi, e lo stesso vale per il secondo dado, e quindi abbiamo 6⋅6=36 coppie ordinate possibili.
Adesso facciamo lo stesso ragionamento sulle sestine. Alla prima estrazione può uscire un qualunque numero fra i 90 presenti nell’urna, e quindi abbiamo 90 possibilità. Alla seconda estrazione, invece, siccome abbiamo già tolto un numero, avremo solo 89 possibilità, e così via alla terza avremo 88 possibilità, alla quarta 87 possibilità, alla quinta 86 possibilità e alla sesta estrazione 85 possibilità. In tutto abbiamo quindi 90⋅89 ⋅88 ⋅87 ⋅86 ⋅85= 448282533600 sestine possibili.
Attenzione! Abbiamo contato delle sestine in più! Nelle estrazioni non conta l’ordine in cui i numeri vengono estratti! Per esempio, estrarre in ordine i numeri 2 3 4 5 6 7 equivale all’estrazione degli stessi numeri ma in un altro ordine, per esempio 7 3 2 4 5 6 (si vince in entrambi i casi!). Allora con il numero 448282533600 abbiamo contato non solo tutte le sestine possibili ma tutte le sestine possibili ordinate in tutti i modi possibili (e già, in matematica l’ordine conta)! Per sapere solo il numero delle sestine possibili bisogna dividere per un numero che corrisponde al numero di modi possibili di ordinare una sestina di numeri perché abbiamo contato ogni sestina più di una volta!
E allora in quanti modi posso ordinare una sestina di numeri? Facciamo un ragionamento matematico simile a prima. Il primo numero può essere scelto in 6 modi, il secondo in 5 perché un numero è già stato scelto, il terzo in 4, il quarto in 3, il quinto in 2 e il sesto numero può essere scelto in un solo modo (quello che è rimasto). Quindi, dati sei numeri, abbiamo 6⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅2 ⋅1 modi di ordinarli.
3. Conclusione: vincere? E’ molto raro e te lo dice la Matematica!
In conclusione, il numero totale delle sestine, senza contare l’ordine, che possono essere estratte sono
Ricapitolando, abbiamo calcolato:
- il numero di eventi favorevoli = 1 (la sestina che abbiamo scelto prima dell’estrazione)
- il numero di eventi possibili = 622614630 (tutte le sestine che possono uscire in una estrazione)
Abbiamo che la probabilità di vincere una sestina al SuperEnalotto è
che in percentuali è circa 0.00000016 %
Adesso capite quanto è difficile vincere al SuperEnalotto!
