BOOK DI MATEMATICA & FISICA di Francesco Petracca

"CONGETTURE"

.........argomentare e congetturare ossia attività che favoriscono il passaggio dalle nozioni intuitive a forme di pensiero deduttivo.

PREMESSA:

una congettura è una proprietà che, per alcune ragioni crediamo vera, ma di cui non siamo completamente sicuri. Le congetture sono il motore dell'attività matematica, quando si fa una congettura si prova prima ad argomentare la sua verosimiglianza, a sperimentarla su esempi, e quando ci si è convinti della sua verità, si prova a dimostrarla. Se non ci si riesce, si prova a demolirla con l'aiuto di un controesempio.

Nell'affrontare le prime dimostrazioni matematiche, gli studenti del biennio di una scuola di secondaria di secondo grado incontrano generalmente le seguenti difficoltà:

• perché dimostrare delle proprietà che sembrano evidenti o delle quali si è già convinti?

• cosa significa "ipotesi" e "tesi" ?

• quali conoscenze si possono utilizzare per giustificare i vari passi della dimostrazione ?

Con questa attività ci si propone di aiutare gli studenti a trovare delle risposte a questi primi interrogativi fondamentali, guidandoli nei vari esercizi di Geometria o di Algebra

FINALITÀ GENERALI:
• considerare la dimostrazione come il punto di arrivo di un percorso che prevede esperienze, osservazioni, esplorazioni.
• educare alla matematica facendo nascere il piacere di affrontare e studiare questioni matematiche, che portano ad imparare metodi e procedimenti tipici della disciplina.

CONGETTURE

Una congettura (dal latino coniectūram, dal verbo conīcere, ossia interpretare, dedurre, concludere) è una affermazione o un giudizio fondato sull'intuito, ritenuto probabilmente vero, ma non dimostrato - opinione, convinzione o conclusione che si basa su indizi e dati probabili; supposizione, ipotesi: avanzare una congettura, basarsi su congetture. In Matematica, proprietà che non è stata dimostrata in maniera rigorosa, ma sulla quale pendono indizi consistenti di verità (una congettura dimostrata diventa Teorema, Proposizione, Lemma, Corollario).
Sinonimi: supposizione, ipotesi.
La congettura di Goldbach(1690-1764), afferma che ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di due numeri primi (4=2+2, 6=3+3, 8=5+3...), è tutt'oggi un problema irrisolto e nessuno riesce a dimostrarla.

La congettura dei numeri primi gemelli, ad esempio, è un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri che riguarda i numeri primi. Essa fu proposta per la prima volta da Euclide intorno al 300 a.C. e afferma:

Esistono infiniti numeri primi p tale che anche p+2 sia un numero primo

Due numeri primi che differiscono di 2 sono chiamati primi gemelli. Molti teorici dei numeri hanno tentato di dimostrare questa congettura. La maggior parte dei matematici ritiene che questa congettura sia vera, basandosi principalmente sull'evidenza numerica e su ragionamenti euristici che riguardano la distribuzione probabilistica dei numeri primi.

In matematica il termine "congettura" trova un'applicazione quanto mai appropriata: una congettura matematica è infatti un enunciato formulato da uno o più matematici che lo ritenevano probabilmente vero, per il quale non è tuttora conosciuta una dimostrazione.

Diversamente dalle scienze empiriche, la matematica è basata sulle verità dimostrabili; non si può applicare la massima riguardo "all'eccezione che conferma la regola".

Nonostante molte delle congetture famose siano state testate su intervalli di numeri astronomici (solitamente con l'aiuto del computer), ciò non fornisce alcuna garanzia dell'inesistenza di un controesempio, che le confuterebbe immediatamente. Per esempio, la congettura che riguarda le sequenza di numeri generate da un certo algoritmo, è stata verificata per tutti i numeri fino a 1.2 × 1012 (oltre un milione di milioni); tuttavia, essa mantiene ancora lo status di congettura.

ENUNCIATO: "E' vero che: dati 4 numeri interi consecutivi tutti pari e/o tutti dispari (positivi o negativi) la differenza tra il prodotto del secondo numero per il terzo e del primo per il quarto, è sempre uguale ad 8?"

Esempio: