Un Cerchio e un Quadrato con aree equivalenti
Qual è ‘l geomètra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’ elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l’imago al cerchio e come vi s’indova;
ma non eran da ciò le proprie penne:
(Dante, Divina Commedia, Paradiso, Canto XXXIII, vv 133-139)
Se vogliamo costruire il quadrato di area equivalente al cerchio dobbiamo costruire un quadrato di lato
. Il problema della quadratura del cerchio trae origine dal concetto greco di costruibilità. Nell'antica Grecia gli strumenti ammessi per le costruzioni geometriche erano riga e compasso, tutto questo porta ad ottenere una categoria di numeri noti come numeri costruibili. Ricordiamo che ogni numero costruibile è algebrico pur sapendo che l'insieme dei numeri algebrici comprende sia i numeri costruibili che i numeri non costruibili: un numero è algebrico quando è soluzione di una equazione a coefficienti razionali.
I numeri che non sono algebrici si chiamano trascendenti( formano un insieme infinito non numerabile, non contabile).
Lindemann dimostrò nel 1882 che
è trascendente,
pertanto non è algebrico e costruibile e pertanto non si può costruire con riga e compasso come
etc. Lindemann(1852-1939) dimostrò che il problema della quadratura del cerchio è pertanto impossibile!
Diagramma di Venn che mostra la relazione tra numeri costruibili, gli algebrici, i trascendenti e i reali
Ricordiamo:
Un numero reale a è costruibile con riga e compasso se
lo è un segmento di lunghezza pari a |a| (avendo
fissato un segmento di lunghezza unitaria).
I numeri interi sono costruibili con riga e compasso. Fissiamo un segmento U come unità di misura. A
partire da U possiamo costruire un qualsiasi
numero naturale n (basta riportare il segmento n
volte su una retta) e quindi un qualunque numero
intero.
I numeri razionali sono costruibili con riga e compasso
basta riportare su una retta a partire da un punto O
m volte il segmento U ed dividere il segmento
ottenuto in n parti uguali applicando il teorema di
Talete.
Sono inoltre costruibili:
-la somma e la differenza di due numeri costruibili a e b
-la somma e la differenza di due numeri costruibili a e b
- il prodotto di due numeri a·b
- il quoziente di due numeri a/b
- la radice di un numero costruibile