UN DIVERSO MODO DI INTENDERE LA GEOMETRIA
Fu Felix Klein che, nel 1872 nel suo "PROGRAMMA DI ERLANGEN" gettò le basi per un nuovo modo di intendere la geometria moderna: ricerca delle proprietà delle figure che sono invarianti rispetto ai gruppi di trasformazioni elementari applicate. Secondo Klein tale disciplina viene studiata da un punto di vista dinamico (figure oggetto che si trasformano in figure immagini)
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| ABC(figura oggetto) ---------->>A'B'C'(figura immagine trasformata) |
Possiamo meglio dire che la geometria è intesa come studio e ricerca di quelle particolari proprietà che si conservano nelle rispettive immagini(A'B'C') ottenute con i vari tipi di trasformazioni. Si riporta di seguito una rappresentazione insiemistica delle trasformazioni geometriche conosciute dallo studente:
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| Trasformazioni geometriche |
Appare chiaro che lo spirito che anima la geometria moderna è quello di comprendere la trasformazione di figure del piano in altre figure del piano e di studiare le proprietà che si conservano.
Parlando di trasformazioni isometriche pensiamo alle corrispondenze biunivoche del piano in sè quali: le traslazioni, le simmetrie assiali, le simmetrie centrali e le rotazioni. In questo caso si cerca di scoprire quali proprietà della figura oggetto F si conservano anche nella figura immagine F'. Si chiama geometria euclidea quella geometria che studia le proprietà che si conservano(invarianti) rispetto al gruppo delle isometrie. Alla geometria euclidea appartengono tutti i concetti "metrici" (che riguardano la misura) quali: distanza tra due punti, perimetro, l'area di una figura etc..
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| Trasformazione Isometrica: traslazione ABCD(oggetto), A'B'C'D'(immagine) |
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| Trasformazione Isometrica: rotazione ABCD (oggetto), A'B'C'D'(immagine) |
Le omotetie sono corrispondenze biunivoche del piano in sè che hanno le seguenti caratteristiche: ogni retta r è trasformata in r' parallela alla precedente, il rapporto tra segmenti che si corrispondono è costante(A'B'/AB=C'D'/CD=.....=K), si conserva l'ampiezza degli angoli. Le omotetie composte con le isometrie danno per risultato le similitudini, trasformazioni che hanno le caratteristiche di provocare ingrandimenti o riduzioni della figura conservando però la forma. Inoltre le proprietà che interessano le similitudini prescindono dalla mutua posizione delle due figure(oggetto e immagine) nel piano (una retta r non è trasformata in una retta r' parallela alla precedente).
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| ABC e A'B'C' conservano la forma (similitudine) |
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| Omotetia di centro F = (1, 0) e rapporto σ = 3 |
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| Omotetia di centro F = (1, 0) e rapporto σ = -1.5 |
Le affinità sono invece trasformazioni del piano in sè che conservano il parallelismo, il rapporto delle aree di figure corrispondenti, il rapporto semplice di tre punti ordinati A,B,C di una retta ossia AC/AB.
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| Affinità: ABCDEF(oggetto)-------->>A'B'C'D'E'F'(immagine) |
Come si può notare la figura azzurra (immagine), risultato della trasformazione, ha una superficie maggiore, conserva i lati paralleli, tuttavia non ha più la forma iniziale.L'effetto visibile di questa trasformazione è come se la figura verde fosse stata spostata, ingrandita e in seguito inclinata o stiracchiata.
Video_Omotetia_1
Video Omotetia_2
