sabato 30 novembre 2013

La Sezione Aurea e i Numeri di Fibonacci

LA SEZIONE AUREA E I NUMERI DI FIBONACCI
La Sezione Aurea definita anche "rapporto aureo, numero aureo, costante di Fidia o proporzione divina" rappresenta il rapporto tra due diverse lunghezze a/b dove a indica la lunghezza maggiore AB e b indica la lunghezza minore BC
tra le quali esiste la seguente relazione: .Dalla proporzione si deduce che a rappresenta il medio proporzionale tra la lunghezza minore  b e la lunghezza a+b somma delle altre due. Possiamo dire che sussiste anche la seguente relazione:
(numero irrazionale) = Rapporto Aureo
Si dimostra che questo numero può essere approssimato dai rapporti fra due termini successivi della Successione di Fibonacci


La successione di Fibonacci
Una successione è una sequenza di numeri individuati per la posizione che occupano, essi possono essere generati o mediante una formula o mediante un legame con gli elementi che li precedono. 
Quella di Fibonacci è generata dal legame:
Fn = Fn-1 + Fn-2 con n > 1
Partendo da due numeri (0,1) il generico termine è uguale alla somma dei due precedenti. 
O, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21, 34, 55, ……..
In particolare:            
 

  • Dati 4 numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto degli estremi è uguale a quello dei medi. 
  • Inoltre se si prendono due numeri di Fibonacci consecutivi e se ne fa il quadrato, la somma fra i quadrati è un altro numero di Fibonacci che nella sequenza occupa il posto risultante dalla somma delle posizioni dei due termini di partenza.
  • Esempi:
     
    In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero della sequenza 1,1,2,3,5,8,13,21,34... se ne è fatto il quadrato e la somma fra i quadrati è risultata essere il nono numero di Fibonacci.
     
    In questo caso si sono presi il sesto e il settimo numero della sequenza e la somma fra i loro quadrati ha dato il tredicesimo numero di Fibonacci.
  • Ogni numero di Fibonacci corrisponde alla somma dei numeri che lo precedono eccetto l'ultimo, aumentata di 1. Ecc. Ecc. 
APPLICAZIONI
A) IN ECONOMIA:
I NUMERI DI FIBONACCI E LA BORSA DI MILANO

Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto da Leonardo Fibonacci da Pisa, uno dei più grandi protagonisti della storia della matematica, Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le onde di Elliot ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del drammatico ribasso dell’estate ‘98. 
B) IN INFORMATICA:
I NUMERI DI FIBONACCI NEL PROCESSORE PENTIUM

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione degli algoritmi. 


§Solo le persone superficiali non giudicano dalle apparenze.
Il mistero del mondo è il visibile, non l’invisibile.

                                                            Oscar Wilde

Pi Greco




«Esplorare π è come esplorare l’universo…» 
David Chudnovsky



π è un numero trascendente

I numeri reali o complessi che si possono considerare come soluzioni di un’equazione algebrica a coefficienti interi sono detti numeri algebrici. Sono algebrici tutti i numeri razionali e alcuni irrazionali. I numeri che non sono algebrici sono detti trascendenti; questa definizione si deve ad Eulero, secondo il quale certi numeri «trascendono la potenza dei metodi algebrici». 
Questa congettura troverà conferma solo nel 1844, ad opera di Joseph Liouville. Georg Cantor scoprirà poi che i numeri trascendenti sono infinitamente più numerosi degli irrazionali, e determinerà, come Liouville, procedimenti che permettono di costruire numeri trascendenti. Allora π è trascendente? Il problema era importante, perché ad esso sono legate le questioni sulla quadratura del cerchio. Sarà Ferdinand von Lindemanna a dare nel 1882 la definitiva dimostrazione della trascendenza di π, e a mettere la parola fine ai tanti tentativi di costruzione con riga e compasso.

domenica 24 novembre 2013

L'Isola dei Cavalieri e dei Furfanti


L'ISOLA DEI CAVALIERI E DEI FURFANTI 
(La Logica delle Proposizioni)

L’isola dei cavalieri e dei furfanti è un mondo conosciuto grazie ad un logico americano, Raymond Smullyan: Facciamo riferimento al libro di Smullyan - "Qual è il titolo di questo libro?", Zanichelli Bologna 1981, per risolvere quesiti di logica delle proposizioni che useremo per non farci prendere in giro dai furfanti che vivono sull’isola.


Si fanno le seguenti ipotesi:                     
  1. Ogni abitante dell’isola è un cavaliere o un furfante; non esistono altre categorie di abitanti 
  2. I cavalieri dicono sempre la verità 
  3. I furfanti mentono sempre 
  4. Sull’isola vale il principio di non contraddizione (è impossibile che la stessa cosa “sia” e “non sia”) 
  5. Gli abitanti dell’isola conoscono l’aritmetica

PROBLEMA A 

In un’isola ci sono due tipi di persone: i furfanti (mentono sempre) e i cavalieri (dicono sempre la verità). Su un’isola di questo tipo corre voce che vi sia sepolto dell’oro. Voi arrivate su quest’isola e chiedete ad uno dei nativi, A, se c’è oro su quest’isola. Egli dà la seguente risposta: ‘Sull’isola c’è oro se e solo se io sono un cavaliere’. Stabilisci: 
a) si può determinare se A è un cavaliere o un furfante?
b) si può determinare se c’è oro sull’isola?



SOLUZIONE 

Indicando con (o) la proposizione "sull’isola c’è oro" e con (c) la proposizione "A è un cavaliere", la risposta fornita si formalizza con la proposizione composta p: o Ûc (Se o ALLORA c et SE c ALLORA o), la cui tavola di verità è la seguente:
.
o
c
o Ûc
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V

Come leggere la tavola di verità in relazione al problema? Poiché i cavalieri dicono il vero e i furfanti mentono, il valore di verità relativo alla formula atomica c deve coincidere con quello del connettivo  Û(cioè se l’interlocutore è un cavaliere la proposizione deve essere vera; viceversa se è un furfante) e questo succede solo in corrispondenza delle prime due righe. Non è possibile stabilire quindi se stiamo parlando con un cavaliere o con un furfante, ma è certo che sull’isola c’è dell’oro.

PROBLEMA B 

Abbiamo due persone, A e B, ognuna delle quali è un cavaliere o un furfante. Supponiamo che A faccia la seguente affermazione: “Se io sono un cavaliere, allora lo è anche B”. Si può determinare che cosa sono A e B?

SOLUZIONE 
Indicando con (a) la proposizione "A è un cavaliere" e con (b) "B è un cavaliere", la tavola di verità di a®b (SE a ALLORA b) è la seguente:
a
b
a®b
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Se A è un cavaliere, la proposizione composta a®deve essere vera quando a è vera, mentre deve essere falsa quando a è falsa; questo secondo caso non si verifica mai, mentre per il primo si ha solo un’opportunità. Quindi A e B sono cavalieri.


PROBLEMA C
Una volta, quando visitai l’isola dei cavalieri e dei furfanti, mi imbattei in due abitanti che riposavano sotto un albero. Chiesi a uno di loro: “Uno di voi due è un cavaliere?” Egli rispose e seppi la risposta alla mia domanda. Cos’è la persona a cui feci la domanda? E che cos’è l’altro?

SOLUZIONE 
Indicando con (a) la proposizione "A è un cavaliere" e con (b) "B è un cavaliere", la tavola di verità di aÚb(a OR b) è la seguente:

a
b
aÚb
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F

Supponiamo che la domanda sia stata rivolta ad A (è indifferente). Se A risponde sì può essere un cavaliere (e B cavaliere o furfante) o un furfante (e B furfante). Queste eventualità corrispondono a tre righe della tavola di verità e comportano possibilità che impediscono di conoscere la risposta alla domanda. Poiché tale risposta è nota, A deve aver risposto ‘No’ e quindi A è un furfante e B un cavaliere (quarto caso della tavola di verità).

giovedì 21 novembre 2013

L'Ultimo Teorema di Fermat


L'ULTIMO TEOREMA DI FERMAT  



Afferma che dell'equazione  non esistono soluzioni intere positive se   è maggiore di 2. Possiamo affermare che se  è maggiore di 2, non posso trovare tre numeri interi  che soddisfano l'equazione. Per  n=2 sappiamo che è vera l'equazione  . Ma già se   si incontrano difficoltà. Il teorema fu enunciato dal matematico francese Pierre de Fermat nel 1637, che disse di averlo dimostrato. Ci sono voluti oltre 350 anni per una dimostrazione successiva, pubblicata nel 1994 da Andrew Wiles con il suo studente Richard Taylor.
Andrew Wiles -1953-
Wiles giunge alla dimostrazione facendo uso di una matematica che ai tempi di Fermat non esisteva e precisamente si interessò dello studio delle curve ellittiche e nello specifico Wiles analizzo alcune equazioni ellittiche nell'aritmetica modulare. La domanda che ancora oggi ci poniamo è la seguente: Fermat millantava o aveva una dimostrazione?

mercoledì 20 novembre 2013

Il Crivello di Eratostene

IL CRIVELLO DI ERATOSTENE
Eratostene(276-194 a.C.)

Fig 1.     IL CRIVELLO FINO AL NUMERO 100

Nella fig. 1 è riportato il crivello di Eratostene fino al numero 100: si  eliminano i multipli di 2( in rosso), poi quelli di 3 etc. I bianchi sono i numeri primi escludendo il numero 1.

Nel III secolo a.C., il matematico greco Eratostene di Cirene elaborò un metodo semplice per trovare tutti i numeri primi minori di un certo numero N. Consiste nello scrivere tutti i numeri interi da 2 a N e poi nell'eliminare progressivamente quelli che non servono. Disposti i numeri come in Fig.1 si parte da 2(escludendo il numero 1) e si tolgono tutti i suoi multipli (4,6,8,....). Quindi si riparte dal numero 3 e si tolgono tutti i suoi multipli che sono rimasti in tabella dopo l'eliminazione precedente. E si procede di conseguenza....
naturalmente quando i numeri crescono il procedimento diventa praticamente irresolubile.
2357111317192329313741434753
596167717379838997101103107109113127131
137139149151157163167173179181191193197199211223
227229233239241251257263269271277281293293307311
313317331337347349353359367373379383389397401409
419421431433439443449457461463467479487491499503
509521523541547557563569571577587593599601607613
617619631641643647653659661673677683691701709719
727733739743751757761769773787797809811821823827
829839853857859863877881883887907911919929937941
947953967971977983991997

Fig.2 Tavola dei numeri primi minori di 1000

Il numero primo più grande trovato da Curtis Cooper del Missouri ha 17 milioni di cifre: 3 mila pagine di testo. Esso si esprime come  (numero di Mersenne) ossia 2 moltiplicato per se stesso 57.885.161 volte, meno 1. 

domenica 17 novembre 2013

Il Prof. di Matematica

IL PROFESSORE DI MATEMATICA TRADIZIONALE


Le leggende popolari presentano il professore di matematica come una creatura estremamente distratta e costantemente assorta. Di solito, egli si presenta in pubblico con un ombrello stinto in ciascuna mano. Preferisce guardare la lavagna e volgere le spalle alla scolaresca. Scrive a, legge b e vuole significare c; ma dovrebbe essere d. Alcuni di questi detti si tramandano di generazione in generazione. 
“Per risolvere questa equazione differenziale, guardatela finché vi verrà in mente una soluzione” 
“Questo principio è di una generalità così assoluta che non è possibile farne alcuna applicazione particolare” 
“La geometria è l’arte di ragionare in modo esatto su figure errate” 
“Il mio metodo di superare le difficoltà consiste nel raggirarle” 
“Qual è la differenza tra metodo e artificio? Un metodo è un artificio che può essere usato più volte”. 
Malgrado tutto ciò si può imparare qualcosa da un simile professore di matematica. Speriamo quindi che non divenga tradizionale, invece, quel professore di matematica dal quale non si può imparare proprio nulla!

                                                       George Polya
George Polya (1887-1985)



I DIECI COMANDAMENTI DELL'INSEGNANTE DI MATEMATICA
  1. Abbi interesse per la tua materia. 
  2. Conosci la tua materia. 
  3. Conosci i modi secondo i quali si impara: il miglior modo per imparare qualsiasi cosa è di scoprirla da soli. 
  4. Cerca di leggere sul viso degli studenti, cerca di capire le loro aspettative e le loro difficoltà; mettiti al loro posto. 
  5. Dai loro non soltanto informazioni, ma anche “saper-come“, attitudini mentali, abitudine al lavoro metodico. 
  6. Fai loro imparare ad indovinare. 
  7. Fai loro imparare a dimostrare. 
  8. Cerca quegli aspetti del problema in questione che possono essere utili per i problemi futuri – cerca di mettere in evidenza lo schema generale che sta dietro la situazione concreta presente. 
  9. Non rivelare subito tutto il tuo segreto – fallo indovinare dagli studenti prima di dirlo - fa loro scoprire da soli quanto è possibile. 
  10. Suggeriscilo, non forzarlo. 
                                                                               György Pólya
da Mathematical Discovery (vol 2)

vedi anche di György Pólya:
"How to Solve It",
"Mathematics of Plausible Reasoning Volume I: Induction and Analogy in Mathematics"
"Mathematics of Plausible Reasoning Volume II: Patterns of Plausible Reasoning"

venerdì 15 novembre 2013

L’ELOGIO DELLA MATEMATICA, ELOGIO ALLA MATEMATICA

Nessun altro studio richiede meditazione più pacata ;

nessun altro meglio induce ad essere cauti nell’affermare ,

semplici ed ordinati nell’argomentare ,

precisi e chiari nel dire ;

e queste semplicissime qualità sono sì rare

che possono bastare da sole ad elevare chi ne è dotato

molto al di sopra della maggioranza degli uomini .

Perciò io esorto a studiare matematica

pur chi si accinga a divenire avvocato o economista ,

filosofo o letterato ; perché io credo

e spero che non gli sarà inutile sapere bene ragionare

e chiaramente esporre .



                                             Alessandro Padoa (1868-1937)


dal "Discorso pronunciato da Alessandro Padoa in Pinerolo il 28 marzo 1908"

sabato 9 novembre 2013

INTRODUZIONE ALLA DERIVATA


INTRODUZIONE AL 
CONCETTO DI DERIVATA


DAL PENSIERO DI NEWTON ALLA DEFINIZIONE MODERNA DI DERIVATA




Galileo Galilei (1564-1642)
“la filosofia [la natura] è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (e dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, a conoscer i caratteri ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi e altre figure geometriche senza i quali mezzi è impossibile intenderne umanamente parola; senza questi, è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.”                                           Galileo Galilei                                                           
                                                                                          
                                                                                                                                                                                                                                                                                      
I problemi aperti del XVII sec. :
Newton (1642-1727)
Il XVII secolo segna l’inizio della ricerca scientifica secondo un nuovo metodo, lo studio della natura in maniera sistematica utilizzando la matematica ed i suoi progressi. Lo sviluppo della matematica è strettamente legato ad alcuni problemi, all’epoca ancora irrisolti, ritenuti di grande interesse sia culturale che economico. Possiamo dire che i progressi matematici fornirono le risposte ai problemi ma allo stesso tempo furono proprio i problemi aperti a stimolare la nascita e lo sviluppo di nuove tecniche di calcolo e nuovi concetti matematici.

CINEMATICA: tra i vari problemi cinematici è interessante studiare il moto dei pianeti al fine di migliorarne il calcolo della posizione;

LE TANGENTI AD UNA CURVA: il problema è posto sia come problema geometrico che ottico pensando che la progettazione delle lenti interessava direttamente Fermat, Descartes, Huygens e Newton. In realtà erano gia noti dall’antichità alcuni metodi per determinare le tangenti ad alcune curve particolari, ma mancava un metodo generale.

DETERMINAZIONE DI MASSIMI E MINIMI: pensiamo ai massimi e minimi di una funzione:determinare la massima o minima distanza di un pianeta dal sole; determinare  l'angolo in corrispondenza del quale la gittata di un cannone è massima.

LO STUDIO DELLA CINEMATICA CON IL METODO DELLE FLUSSIONI:
Newton chiama  fluenti le quantità che variano nel tempo e flussioni le rispettive velocità di variazione. Nella trattazione  che segue chiamiamo  x,y,z  le quantità fluenti perchè crescenti gradualmente e indefinitamente, indichiamo con le lettere a,b,c..le quantità note e  con     le flussioni che chiamiamo velocità di x,y,z.


LA VERSIONE MODERNA DI CAUCHY:
Cauchy (1789-1857)
Al di là dell’approccio dinamico del suo pensiero, l’elemento fondamentale che manca nella teoria di Newton è una definizione chiara del concetto di limite, anche se in più punti dei suoi scritti possiamo riscontrare la presenza di tale idea; bisognerà attendere D’Alambert e Cauchy per completare il quadro e dare all’analisi matematica la veste usata ancora oggi. Nel 1821 viene pubblicato il primo dei due trattati scritti da Cauchy per gli studenti dei suoi corsi all’École Polytechnique, il Cours d’analyse. Il concetto di limite viene posto alla base di tutte costruzioni dell’analisi. Le flussioni di Newton sono l’antenato di quella che oggi chiamiamo derivata e che riassume tutti i significati che si riportano:
  1. velocità istantanea con cui varia una grandezza; 
  2. coefficiente angolare della retta tangente ad una curva;
  3. strumento per determinare i punti stazionari di una funzione. 
Nel secondo volume Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal di Cauchy, la teoria dei limiti è applicata al calcolo infinitesimale e viene definita rigorosamente la “derivata” come limite del rapporto incrementale.

Data una funzione y=f(x) la sua derivata è                       (Cauchy)

Per la stessa funzione la flussione è                                       ( Newton)

con "o"  intervallo di tempo infinitamente piccolo 

 incremento della grandezza x dopo un intervallo di tempo infinitesimo "o"

come possiamo notare nella espressione di Newton manca il concetto di limite come lo intendiamo oggi.
Esempio: calcoliamo la derivata della funzione      utilizzando il concetto di derivata come limite del rapporto incrementale:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
         (Cauchy)


 applicando il metodo delle flussioni si ha:                   (Newton)


   trascurando il primo termine e ponendo 

   considerando uniforme lo scorrere del tempo nella ipotesi che y rappresenta la distanza percorsa da un corpo in moto accelerato e x il tempo trascorso dall'inizio del moto, si ottiene il valore della flussione di y ovvero il valore della velocità istante per istante:      Nel  trattato Methodus fluxionum serie infinitarum nel calcolo delle flussioni si legge: “si divida per (o) e sia diminuita la quantità (o) all’infinito e trascurati i termini evanescenti” ( in un altro punto del trattato Newton precisa che i termini moltiplicati per o saranno niente rispetto al resto e quindi evanescenti ).
Questo esempio è indispensabile come collegamento tra le flussioni di Newton e la derivata nella concezione contemporanea e serve per sottolineare l’importanza del concetto di limite. Il metodo di Newton fornisce un procedimento per determinare la velocità istantanea qualunque sia la relazione che lega spazio e tempo, ma la sua validità va ben oltre, in quanto è valido per ogni genere di grandezza x e y rappresentino.
È interessante la frase di Newton “sia diminuita la quantità (o) all’infinito e trascurati i termini evanescenti” e perché non avesse scritto semplicemente “si ponga o=0”… tra le righe si intuisce l’idea di limite che Newton aveva già in mente  anche se non formalizzata in maniera opportuna. Proprio questo punto piuttosto “oscuro” costituiva il motivo principale delle obbiezioni al suo metodo.

Letture consigliate:
  1. Isaac Newton, The method of fluxions and infinite series, (1736) http://books.google.com
  2. Isaac Newton, Tractatus de quadratura curvarum,  (1704) http://books.google.com
  3. Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, (1687) http://books.google.com